Математика

I. ​Наука содержание

Целью преподавания предмета является формирование у учащихся навыков применения топологических методов и методов дифференциального исчисления при изучении геометрических объектов.

Задачей науки является изучение топологических, открытых и замкнутых отображений, тихоновских произведений топологических пространств, необходимых и достаточных условий для того, чтобы топологическое пространство было метрическим, а также геометрии геометрических объектов, параметризованных дифференцируемыми функциями, то есть прямых и поверхностей.

Для достижения этой цели решаются задачи по ознакомлению учащихся с необходимыми методами изучения науки и формированию научного мировоззрения.

Эти знания широко используются в приложениях к теории кардинальных инвариантов, продолжению непрерывных функций, многообразиям, дифференциальной топологии и гомологии, которые являются современными разделами дифференциальной геометрии и топологии, а также в системе образования.

II. Основная теоретическая часть (лекционные занятия)

II. I. Наука включает в себя следующие темы:

Тема 1. Введение в дифференциальную геометрию и топологию

Основные понятия топологии. Общие понятия теории линий и поверхностей. Предмет и методы дифференциальной геометрии и топологии.

Тема 2. Топология в евклидовом пространстве.

Евклидово пространство, евклидова топология.

Тема 3. Метрические пространства и метрическая топология.

Тема 4. Топологические пространства.

Основные свойства открытых и замкнутых множеств в топологических пространствах. Непрерывность и конвергенция.

Тема 5. Построение топологических пространств.

Топологические пространства продукт, частичные пространства.

Тема 6. База топологии. Построение топологии с использованием базы.

Тема 7. Аксиомы делимости. Леммы Урисона.

Тема 8. B -комплекты для снятия боли .

Ограниченные множества в топологическом пространстве и их свойства .

Тема 9. Компактные наборы.

Компактные множества в топологическом пространстве и их свойства.

Тема 10. Компактность в евклидовых пространствах.

Компактное множество в евклидовом пространстве. Компактность поперечного сечения и замкнутого куба.

Тема 11. Постоянные акцентуации.

Определение непрерывной акцентуации в топологическом пространстве, например. Теоремы непрерывности .

Тема 12. Связность и компактность в непрерывном отражении . Теоремы о линейно связанных множествах и их пересечениях.

Тема 13. Топологические отражения .

Свойства топологического отображения , примеры. Стереографическая проекция .

Тема 14. Топологические группы.

Тема 15. Гомотопические отражения.

Тема 16. Векторная функция и ее дифференциальное исчисление.

Исчисление векторных функций. Предел, производная и дифференциал векторной функции. Правила дифференцирования и интегрирования векторных функций.

Тема 17. Линии и способы их передачи

Элементарные, простые и общие гладкие кривые, методы представления кривых, методы параметризации. Простые и особые точки кривой.

Тема 18. Попытка криволинейной линии и плоскость сцепления

Определение и свойства попытки кривой. Уравнение нормальной плоскости кривой линии .​ Уравнение плоскости связи, свойства. Общие нормальные и бинормальные уравнения.

Тема 19. Длина дуги кривой и метод натуральной параметризации

Длина дуги кривой и её вычисление . Ректифицируемая кривая . Естественный параметр кривой.

Тема 20 . Кривизна и скручивание кривизны

Кривизна кривой и её вычисление. Кривизна линии и ее расчет . Формулы Френа . Линия является естественной. уравнения.

21 - тема . Криволинейная система координат.

Криволинейная система координат . Линейная дуга в криволинейной системе координат длина. Понятие римской метрики .​

Тема 22. Понятие поверхности и способы ее изображения .

Элементарные, простые и общие понятия поверхности. Методы визуализации поверхностей.

Тема 23 . Шероховатость поверхности

Кривые, лежащие на поверхности. Уравнение плоскости падения и нормали к поверхности . Основа для испытательного самолета. Вектор усилия и координаты блока .​ Изменение координат вектора при переходе от одного базиса к другому .

Тема 24. Первая квадратичная форма поверхности

Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление длины линий , лежащих на поверхности , угла между двумя кривыми линиями .

Тема 25 . Вторая квадратичная форма поверхности

Вторая квадратичная форма поверхности. Формула «Мне не нужна» . Нормальная кривизна поверхности . Основные направления и направления . Формула Эйлера. Классификация точек поверхности .​ Жена Дюпена .

Тема 26 . Основные уравнения поверхности

Формулы вывода Гаусса и Вайнгартена. Символы Кристоффеля.

Тема 27. Связь между первой и второй квадратичными формами. Теорема Бонна.

Тема 28. Внутренняя геометрия поверхности

Внутренняя геометрия поверхностей . Геодезические линии . Полугеодезическая система координат. Параллельный перенос векторов .

Тема 29. Векторные поля и их интегральные линии

Векторные поля в евклидовом пространстве. Интегральные линии векторных полей . Векторные поля и их интегральные линии, заданные на поверхностях .

Тема 30. Параллельное перемещение векторов на поверхности

Ковариантный дифференциал векторного поля и его свойства. Параллельная трансляция тестовых векторов .

III. Инструкции и рекомендации по практическим занятиям

Для практического обучения рекомендуются следующие темы:

1. Евклидово пространство и евклидова топология.
2. Метрические пространства, метрическая топология или .
3. Топологические пространства: открытые и основные свойства замкнутых множеств .
4. Топологические пространства : k - пространства , частичные пространства и фактор - пространства.
5. Топологическая база . Хаусдорфово, регулярное и нормальное пространства.
6. Аксиома Хаусдорфа и леммы Ура о числах.
7. Связность и линейная связность .
8. Теоремы о линейно связанных множествах и их свойствах .
9. Компактные множества и теоремы Тихонова .
10. Компактификация топологических пространств.
11. Компактность в евклидовых пространствах: компактность куба с разрезом и замыканием q .
12. Непрерывные размышления: необходимые и достаточные условия. Открытые и закрытые отражения.
13. Связность и компактность в непрерывном отражении .
14. Топологические отражения: свойства, примеры. Стереографическая проекция.
15. Топологические группы. Построение листа миобиуса.
16. Гомотопические отражения. Первая фундаментальная группа. Гомотопный тип.
17. Элементарные , простые и общие линейные кривые .
18. Методы представления кривой q , методы параметризации.
19. Простые и особые точки кривой .
20. Определение и свойства структуры линии. Уравнение нормальной плоскости к кривой .
21. Уравнение плоскости сцепления, свойства . Общие нормальные и бинормальные уравнения.
22. Длина дуги кривой и ее расчет. Выпрямляемая кривая. Естественный параметр кривой.
23. Кривизна кривой и ее расчет. Кривизна линии и ее расчет . Формулы Френа. Естественные уравнения линии .
24. Линейная система координат. Длина дуги линии в криволинейной системе координат . Понятие римановой метрики.
25. Элементарные, простые и общие понятия поверхности. Методы визуализации поверхностей. Кривые линии, лежащие на поверхности .
26. Уравнение плоскости падения и нормали к поверхности. Основа для испытательного самолета. Вектор и его координаты.
27. Изменение координат вектора при переходе от одного базиса к другому . Первая квадратичная форма поверхности.
28. Длина линий, лежащих на поверхности расчет угла между двумя е - линиями . Вторая квадратичная форма поверхности.
29. Формула для меня. Нормальная кривизна поверхности. Главные кривые и направления . Формула Эйлера .
30. Классификация точек поверхности .​ Жена Дюпена . Формулы вывода Гаусса и Вайнгартена. Символы Кристоффеля.
31. Связь между первой и второй квадратичными формами . Хорошая теорема . Внутренняя геометрия поверхностей.
32. Геодезические линии . Полугеодезическая система координат. Параллельный перенос векторов .
33. поля в евклидовом пространстве . Интегральные линии векторных полей . Векторные поля и их интегральные линии, заданные на поверхностях .
34. Ковариантный дифференциал векторного поля и его свойства. Параллельная трансляция тестовых векторов .

IV. Самостоятельное обучение и самостоятельная работа

От современного специалиста требуется высокий уровень подготовки, умение принимать самостоятельные решения, выбирать необходимую информацию из большого объема для выполнения поставленных задач, а также умение обрабатывать эту информацию.

Основными целями самостоятельного обучения студентов являются:

• овладение новыми методами получения знаний, умение самостоятельно анализировать процессы;
• закрепить, углубить, расширить и систематизировать знания, полученные на аудиторных занятиях;
• научиться работать с информацией и специальной литературой;
• самостоятельное изучение учебных материалов.

Рекомендуемые темы для самостоятельного изучения :

1. Специальные топологии: топология Зарисского, 2-стрелки Александрова;
2. Установите мощность: количественные числительные;
3. Факторное пространство и факторная топология;
4. Сильная и слабая топология;
5. Построить примеры отделимости топологических пространств;
6. Гомотопия. Гомотопические отражения;
7. Эйлеровы характеристики многочленов;
8. 1-я основная группа круга;
9. Теорема Жордана для многоугольников;
10. Множества Кантора ;
11. Площадь Александрова ;
12. Векторные функции и операции над ними. Правила дифференцирования векторных функций ;
13. Создание линий . Индикатриса линии уравнение ;
14. Линии семейного обертывания. Эволюционировать и инволюционировать;
15. Изготовление поверхностей ;
16. Свиток семьи Суртов;
17. Сферическое изображение поверхностей;
18. Изометрические виды;
19. Производные формулы;
20. Скалярные и векторные поля.

Студентам рекомендуется готовить и представлять рефераты по темам, изучаемым самостоятельно.

V. Результаты обучения естественным наукам (сформированные компетенции)

В результате освоения предмета студент:

• Метрические и топологические открытые и замкнутые множества; связные множества и пространства; компактные наборы и пространства; постоянные размышления; линейно связанные множества; топологические отражения; методы представления кривых; методы визуализации поверхностей; кривые линии, лежащие на поверхности; изгибы головы и направления головы; индикатриса Дюпена; параллельное движение векторов; ковариантный дифференциал векторного поля; иметь представление о поверхностях, кривизна которых не меняется ;
• Понятие топологической пространственной базы; приведите примеры связных и несвязных множеств; построить пример непрерывной рефлексии; построить примеры линейно связанных множеств; построить примеры топологических отображений; расчет длины линий на поверхности; нахождение угла между кривыми линиями на поверхности; Определение нормальной кривизны поверхности по формуле Менье; определить основные кривизны и направления поверхности; ковариантная дифференциация и параллельная трансляция векторов; иметь навыки использования теоремы Гаусса-Бонне для поверхностей с инвариантной кривизной ;
• уметь математически моделировать процессы с использованием математических символов и простых систем, строить модели для конкретного экономического процесса, проводить расчеты в рамках построенной модели, а также уметь применять эти знания для использования основных методов и рекомендаций по разработке экспериментальных данных .

VI. Образовательные технологии и методы:

• Лекции;
• Интерактивные тематические исследования;
• Семинары (логическое мышление, быстрые вопросы и ответы);
• Работа в группах;
• Проведение презентаций;

VII. Требования для получения кредита:

В полной мере овладеть теоретическими и методическими положениями предмета, уметь правильно отражать результаты анализа, проводить самостоятельные наблюдения за изучаемыми процессами, выполнять задания и поручения, представленные в формах текущего и промежуточного контроля, представлять письменную работу на итоговый контроль.

VII. Основная литература

1. Нарманов А.Я. Дифференциальная геометрия. Т. Турон-Икбал, 2016. 225 страниц.
2. Нарманов А.Я., Шарипов А.С., Аслонов Ж.О. Сборник задач по курсу дифференциальной геометрии и топологии. Т.: Университет, 2014.
3. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Физматлит, 2004. 304 с .

Дополнительная литература

1. Армстронг М.А. Базовая топология. Спрингер, 1998.
2. Мищенко А.С., Соловьев Я.Т., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, МГУ, 2004 .
3. СИДНИ А. МОРРИС. ТОПОЛОГИЯ БЕЗ СЛЕЗ, 2003.
4. Алексей Сосинский. Узлы: математика с изюминкой. Издательство Гарвардского университета, 2002.
5. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Базовая конструкция. М., Физматлит, 2006.

4. Федорчук В.В. Введение в топологию. Москва, изд. МГУ, 2012.

6. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы Общей топологии в задачах и упражнениях. М., Физматлит, 1974. – 462 с.
7. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. – 752 с.
8. Г. Позняк, Е. В. Шикин. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.
9. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М. Наука, 1969. 176 с.

Источники информации

1. www.ziyonet.uz
2. www.allmath.ru
3. www.exponenta.ru