Matematika

I. Fanning mazmuni

Fanni о‘qitishdan maqsad – talabalarda geometrik obyektlarni о‘rganishda topologik metodlar va differensial hisob-kitob usullarini tadbiq qilish kо‘nik-malarini shakllantirishdan iborat.

Fanning vazifasi – topologik, ochiq, yopiq akslantirishlar, topologik fazolarning tixonov ko‘paytmalari, topologik fazoning metrikalashgan fazo bo‘lishi uchun zaruriy va yetarli shartlar, differensiallanuvchi funksiyalar yordamida parametrlangan geometrik obyektlar, ya’ni chiziqlar va sirtlarning geometriyasini o‘rganishdan iborat.

Ushbu maqsadga erishish uchun fanni o‘granishda zaruriy metodlar bilan tanishtirish hamda ilmiy dunyoqarashini shakllantirish vazifalari bajariladi.

Bu bilimlar differensial geometriya va topologiyaning zamonaviy tarmoq-lari bo‘lgan kardinal invariantlar, uzluksiz funksiyalarni davomlashtirish, ko‘pxilliklar, differensial topologiya, gomologiyalar nazariyasiga tatbiq qilishda, shuningdek ta’lim tizimida keng qo‘llaniladi.

II. Asosiy nazariy qism (ma’ruza mashg‘ulotlari)

II. I. Fan tarkibiga quyidagi mavzular kiradi:

1-mavzu. Differensial geometriya va topologiya faniga kirish

Topologiyaning asosiy tushunchalari. Chiziqlar va sirtlar nazariyasi to‘g‘risida umumiy tushunchalar. Differensial geometriya va topologiyafanining predmeti va uslublari.

2-mavzu. Evklid fazosida topologiya.

Evklid fazosi, Evklid topologiyasi.

3-mavzu. Metrik fazolar va metrik topologiya.

4-mavzu. Topologik fazolar.

Topologik fazolarda ochiq va yopiq to‘plamlarning asosiy xossalari. Uzluksizlik va yaqinlashuvchanlik.

5-mavzu. Topologik fazolarni qurish.

Topologik fazolar ko‘paytmasi, qism fazolar.

6-mavzu. Topologiya bazasi. Baza yordamida topologiya qurish.

7-mavzu. Ajrimlilik aksiomalari. Urison lemmalari.

8-mavzu. Bog‘lanishli to‘plamlar.

Topologik fazoda bog‘lanishli to‘plamlar va ularning xossalari.

9-mavzu. Kompakt tо‘plamlar.

Topologik fazoda kompakt tо‘plamlar va ularning xossalari.

10-mavzu. Yevklid fazolarida kompaktlik.

Yevklid fazosida kompakt to‘plam. Kesma va yopiq kubning kompaktligi.

11-mavzu. Uzluksiz akstantirishlar.

Topologik fazoda uzluksiz akstantirish ta’rifi, misollar. Uzluksizlik haqidagi teoremalar.

12-mavzu. Uzluksiz akslantirishda bog‘lanishlilik va kompaktlik.

Chiziqli bog‘lanishli tо‘plam va uning xoccalari haqidagi teoremalar.

13-mavzu. Topologik akslantirishlar.

Topologik akslantirish xossalari, misollar. Stereografik proyeksiya.

14-mavzu. Topologik gruppalar.

15-mavzu. Gomotopik akslantirishlar.

16-mavzu. Vektor-funksiya va uning differensial hisobi.

Vektor-funksiya hisobi. Vektor funksiya limiti, hosilasi va differensiali. Vektor-funksiya uchun differensiallash va integrallsh qoidalari.

17-mavzu. Chiziqlar va ularning berilish usullari

Elementar, sodda va umumiy silliq egri chiziqlar, egri chiziqning berilish usullari, parametrlash usullari. Egri chiziqning oddiy va maxsus nuqtalari.

18-mavzu. Egri chiziq urinmasi va yopishma tekisligi

Egri chiziq urinmasi ta’rifi va xossalari. Egri chiziqning normal tekisligi tenglamasi. Yopishma tekislik tenglamasi, xossalari. Bosh normal va binormal tenglamalari.

19-mavzu. Egri chiziq yoyi uzunligi va tabiiy parametrlash usuli

Egri chiziq yoyi uzunligi va uni hisoblash. Tо‘g‘rilanuvchi egri chiziq. Egri chiziqning tabiiy parametri.

20-mavzu. Egri chiziq egriligi va buralishi

Egri chiziq egriligi va uni hisoblash. Chiziq buralishi va uni hisoblash. Frene formulalari. Chiziqning tabiiy tenglamalari.

21-mavzu. Egri chiziqli koordinatalar sistemasi.

Egri chiziqli koordinatalar sistemasi. Egri chiziqli koordinatalar sistemasida chiziq yoyi uzunligi. Riman metrikasi tushunchasi.

22-mavzu. Sirt tushunchasi va uning berilish usullari.

Elementar, sodda va umumiy sirt tushunchalari. Sirtlarning berilish usullari.

23-mavzu. Sirtning urinma tekisligi

Sirt ustida yotuvchi egri chiziqlar. Sirtning urinma tekisligi va normali tenglamasi. Urinma tekislik uchun bazis. Urinma vektor va uning koordinatalari. Urinma vektor koordinatalarining bir bazisdan ikkinchi bazisga о‘tishda о‘zgarishi.

24-mavzu. Sirtning birinchi kvadratik formasi

Sirtning birinchi kvadratik formasi. Sirt ustida yotuvchi chiziqlar uzunligini hisoblash, ikki egri chiziq orasidagi burchak.

25-mavzu. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi

Sirtning ikkinchi kvadratik formasi. Men’ye formulasi. Sirtning normal egriligi. Bosh egriliklar va yо‘nalishlar. Eyler formulasi. Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi. Dyupen indikatrisasi.

26-mavzu. Sirtning asosiy tenglamalari

Gauss va Veyngartenning derivatsion formulalari. Kristoffel simvollari.

27-mavzu. Birinchi va ikkinchi kvadratik formalar orasidagi bog‘lanish. Bonne teoremasi.

28-mavzu. Sirtning ichki geometriyasi

Sirtlarning ichki geometriyasi. Geodezik chiziqlar. Yarim geodezik koordinatalar sistemasi. Vektorlarni parallel kо‘chirish.

29-mavzu. Vektor maydonlar va ularning integral chiziqlari

Yevklid fazosida vektor maydonlar. Vektor maydonlarning integral chiziqlari. Sirtlarda berilgan vektor maydonlar va ularning integral chiziqlari.

30-mavzu. Vektorlarni sirt ustida parallel kо‘chirish

Vektor maydonning kovariant differensiali va uning xossalari. Urinma vektorlarni parallel kо‘chirish.

III. Amaliy mashg‘ulotlar bо‘yicha ko‘rsatma va tavsiyalar

Amaliy mashg‘ulotlar uchun quyidagi mavzular tavsiya etiladi:

1. Yevklid fazosi va yevklid topologiyasi.
2. Metrik fazolar, metrik topologiya.
3. Topologik fazolar: ochiq va yopiq tо‘plamlarning asosiy xossalari.
4. Topologik fazolarni qurish: kо‘paytma, qism fazolar va faktor fazolar.
5. Topologiya bazasi. Xausdorf, regulyar va normal fazolar.
6. Xausdorf aksiomasi va Urison lemmalari.
7. Bog‘lanishlilik va chiziqli bog‘lanishlilik.
8. Chiziqli bog‘lanishli tо‘plam va uning xossalari haqidagi teoremalar.
9. Kompakt tо‘plamlar va Tixonov teoremalari.
10. Topologik fazolarning kompaktifikatsiyasi.
11. Yevklid fazolarida kompaktlik: kesma va yopiq kubning kompaktligi.
12. Uzluksiz akslantirishlar: zaruriy va yetarli shartlar. Ochiq va yopiq akslantirishlar.
13. Uzluksiz akslantirishda bog‘lanishlilik va kompaktlik.
14. Topologik akslantirishlar: xossalari, misollar. Stereografik proyeksiya.
15. Topologik gruppalar. Myobius yaprog‘ini qurish.
16. Gomotopik akslantirishlar. Birinchi fundamental gruppa. Gomotopik tip.
17. Elementar, sodda va umumiy silliq egri chiziqlar.
18. Egri chiziqning berilish usullari, parametrlash usullari.
19. Egri chiziqning oddiy va maxsus nuqtalari.
20. Egri chiziq urinmasi ta’rifi va xossalari. Egri chiziqning normal tekisligi tenglamasi.
21. Yopishma tekislik tenglamasi, xossalari. Bosh normal va binormal tenglamalari.
22. Egri chiziq yoyi uzunligi va uni hisoblash. Tо‘g‘rilanuvchi egri chiziq. Egri chiziqning tabiiy parametri.
23. Egri chiziq egriligi va uni hisoblash. Chiziq buralishi va uni hisoblash. Frene formulalari. Chiziqning tabiiy tenglamalari.
24. Egri chiziqli koordinatalar sistemasi. Egri chiziqli koordinatalar sistemasida chiziq yoyi uzunligi. Riman metrikasi tushunchasi.
25. Elementar, sodda va umumiy sirt tushunchalari. Sirtlarning berilish usullari. Sirt ustida yotuvchi egri chiziqlar.
26. Sirtning urinma tekisligi va normali tenglamasi. Urinma tekislik uchun bazis. Urinma vektor va uning koordinatalar.
27. Urinma vektor koordinatalarining bir bazisdan ikkinchi bazisga о‘tishda о‘zgarishi. Sirtning birinchi kvadratik formasi.
28. Sirt ustida yotuvchi chiziqlar uzunligini hisoblash, ikki egri chiziq orasidagi burchak. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi.
29. Men’ye formulasi. Sirtning normal egriligi. Bosh egriliklar va yо‘nalishlar. Eyler formulasi.
30. Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi. Dyupen indikatrisasi. Gauss va Veyngartenning derivatsion formulalari. Kristoffel simvollari.
31. Birinchi va ikkinchi kvadratik formalar orasidagi bog‘lanish. Bonne teoremasi. Sirtlarning ichki geometriyasi.
32. Geodezik chiziqlar. Yarim geodezik koordinatalar sistemasi. Vektorlarni parallel kо‘chirish.
33. Yevklid fazosida vektor maydonlar. Vektor maydonlarning integral chiziqlari. Sirtlarda berilgan vektor maydonlar va ularning integral chiziqlari.
34. Vektor maydonning kovariant differensiali va uning xossalari. Urinma vektorlarni parallel kо‘chirish.

IV. Mustaqil ta’lim va mustaqil ishlar

Hozirgi davr mutaxassisidan yuqori darajadagi tayyorgarlik, mustaqil ravishda qarorlar qabul qila olish, belgilangan vazifalarni bajarish uchun ko‘p ma’lumotlar orasidan kerakligini tanlab olish va bu ma’lumotlarni qayta ishlay olish talab qilinadi.

Talabalar mustaqil ta’limidan asosiy maqsadlar quyidagilardan iboratdir:

• yangi bilim olish usullarini egallash, jarayonlarni mustaqil tahlil qila olish;
• auditoriyadagi mashg‘ulotlarda olgan bilimlarini mustahkamlash, chuqurlashtirish, kengaytirish va tartibga solish;
• ma’lumotlar va maxsus adabiyotlar bilan ishlashni o‘rganish;
• o‘quv materiallarini mustaqil o‘rganish.

Mustaqil ta’lim uchun tavsiya etiladigan mavzular:

1. Maxsus topologiyalar: Zarisskiy topologiyasi, Aleksandrov 2-strelkalari;
2. To‘plam quvvati: kardinal sonlar;
3. Faktor fazo va faktor topologiya;
4. Kuchli va kuchsiz topologiya;
5. Topologik fazolarning ajraluvchanligiga doir misollar qurish;
6. Gomotopiya. Gomotopik akslantirishlar;
7. Ko‘pyoqlarning Eyler xarakteristikalari;
8. Aylananing 1-fundamental gruppasi;
9. Ko‘pburchak uchun Jordan teoremasi;
10. Kantor tо‘plamlari;
11. Aleksandrov kvadrati;
12. Vektor funksiyalar va ular ustida amallar. Vektor funksiyalar uchun differensiallash qoidalari;
13. Chiziqlarni yasash. Chiziqning indikatrisasi va uning tenglamasi;
14. Chiziqlar oilasi o‘ramasi. Evolyuta va evolventa;
15. Sirtlarni yasash;
16. Sirtlar oilasi o‘ramasi;
17. Sirtlarning sferik tasviri;
18. Izometrik akslantirishlar;
19. Derivatsion formulalar;
20. Skalyar va vektor maydonlar.

Mustaqil o‘zlashtiriladigan mavzular bo‘yicha talabalar tomonidan referatlar tayyorlash va uni taqdimot qilish tavsiya etiladi.

V. Fan o‘qitilishining natijalari (shakllanadigan kompetensiyalar)

Fanni o‘zlashtirishda natijasida talaba:

• Metrik va topologik ochiq va yopiq to‘plamlar; bog‘lanishli to‘plamlar va fazolar; kompakt to‘plamlar va fazolar; uzluksiz akslantirishlar; chiziqli bo‘g‘lanishli to‘plamlar; topologik akslantirishlar; egri chiziqning berilish usullari; sirtlarning berilish usullari; sirt ustida yotuvchi egri chiziqlar; bosh egriliklar va bosh yo‘nalishlar; Dyupen indikatrisasi; vektorlarni parallel ko‘chirish; vektor maydonning kovariant differensiali; egriligi o‘zgarmas sirtlar to‘g‘risida tasavvurga ega bo‘lishi;
• Topologik fazo bazasi tushunchasi; bog‘lanishli va bogְ‘lanishsiz to‘p-lamlarga misollar keltirish; uzluksiz akslantirishga misol qurish; chiziqli bog‘lanishli to‘plamlarga misollar qurish; topologik akslantirishlarga misol-lar qurish; sirt ustidagi chiziqlar uzunligini hisoblash; sirt ustidagi egri chiziqlar orasidagi burchakni topish; Menye formulasi yordamida sirtning normal egriligini aniqlash; sirtning bosh egriliklari va yo‘nalishlarini aniq-lash; kovariant differensiallash va vektorlarni parallel ko‘chirish; egriligi o‘zgarmas sirtlar uchun Gauss-Bonne teoremasidan foydalana olish ko‘nikmalariga ega bo‘lishi;
• Matematik belgilar, oddiy tizimlar yordamida jarayonlarni matematik modellashtirish, muayyan iqtisodiy jarayon uchun modellar qurish, qurilgan model doirasida hisoblar olib borishni bilishi va bu bilimlarni eksprement ma’lumotlarini ishlab chiqishning asosiy usul va yo‘riqlaridan foydalanishni tadbiq eta bilish malakalariga ega bo‘lishi kerak.

VI. Ta’lim texnologiyalari va metodlari:

• Ma’ruzalar;
• Interfaol keys-stadilar;
• Seminarlar (mantiqiy fikrlash, tezkor savol-javoblar);
• Guruhlarda ishlash;
• Taqdimotlarni qilish;

VII. Kreditlarni olish uchun talablar:

Fanga oid nazariy va uslubiy tushunchalarni to‘la o‘zlashtirish, tahlil natijalarini to‘g‘ri aks ettira olish, o‘rganilayotgan jarayonlar haqida mustaqil mushohada yuritish va joriy, oraliq nazorat shakllarida berilgan vazifa va topshiriqlarni bajarish, yakuniy nazorat bo‘yicha yozma ishni topshirish.

VII. Asosiy adabiyotlar

1. Narmanov A.Ya. Differensial geometriya. T. Turon-Iqbol, 2016. 225 bet.
2. Narmanov A.Ya, Sharipov A.S., Aslonov J.O. Differensial geometriya va topologiya kursidan masalalar to’plami, T.: Universitet, 2014.
3. Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.  М.: физматлит, 2004. 304 с.

Qo‘shimcha adabiyotlar

1. Armstrong Μ.A. Basic Topology. Springer,1998.
2. Мищенко А.С., Соловьев Я.Т., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, МГУ, 2004 г.
3. SIDNEY A. MORRIS. TOPOLOGY WITHOUT TEARS, 2003.
4. Alexei Sossinsky. Knots: mathematics with a twist. Harvard University Press, 2002.
5. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. Москва, Физматлит, 2006.

4. Федорчук В.В. Введение в топологию. Москва, изд. МГУ, 2012.

6. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы Общей топологии в задачах и упражнениях. Москва, Физматлит, 1974. – 462 с.
7. Энгелькинг Р. Общая топология. Москва: Мир, 1986. – 752 с.
8. Г.Позняк, Е.В.Шикин. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 стр.
9. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М. Наука, 1969. 176 стр.

Axborot mаnbааlаr

1. www.ziyonet.uz
2. www.allmath.ru
3. www.exponenta.ru